Esfera

A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela qual muitas pessoas calculam ovolume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.

Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional:

S^o = {x em R: x²=1} = {+1,-1}

Por exemplo, a esfera

S¹ = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 }

é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano.

Superfície esférica de centro O, é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual a R.

 Esfera é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R.

Área da superfície esférica e volume da esfera

A área da superfície esférica de raio R é dada por:

 O volume da esfera de raio R é dado por:

Secção de uma esfera
OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R.

 Sendo OO’ = d, temos:

 Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.